 |
Трішки філософії. Є більш чи менш фундаментальні фізичні закони, які, в рамках своєї області застосування, описують абсолютну істину. Наголошу, абсолютну лише умовно, в тій області, де вони застосовні. Наприклад, другий закон Ньютона -- фундаментальний. Він з надзвичайною точністю виконується практично для всіх систем, з якими можна зіткнутися в повсякденному житті. В області малих енергій та розмірів він перестає працювати, поступаючись квантовій механіці, в області великих швидкостей, енергій та мас -- спеціальній і загальній теоріям відносності. Однак його неточність при описі, наприклад, машини, що рухається із швидкість 100 км/год -- порядку дев'яти тисячних від однієї трильйонної (\(9*10^{-15}\)). Тобто, відхилення лише в 15-му знаку після коми. Тому, для такої машини, закон Ньютона можна вважати абсолютно точним, відхилення від нього не можна зафіксувати ніякими приладами (*). (Якщо питання співвідношення різних теорій викликало певний інтерес, почати шукати додаткову інформацію на цю тему можна тут).
Отож, у фізиці, точніше у конкретній її області, завжди можна виділити певні, фундаментальні, закони. Ці закони, в принципі, описують всі явища в рамках тієї області. Однак, шлях від законів до опису може бути дуже довгим і тернистим. Фізики-теоретики якраз займаються проходженням тими шляхами, побудовою доріг та їх обживанням. :-)
Розглянемо найпростіший приклад. Потрібно дослідити падіння тіла під дією сили тяжіння.
Фундаментальний закон, який описує, в тому числі і падіння -- другий закон Ньютона. Сформулюємо його. Якщо на тіло, маси m, діє сила \(\vec{F}\), то воно рухатиметься із прискоренням \(\vec{a}\), таким, що виконуватиметься співвідношення: \[ \vec{F}=m \vec{a}\] "Векторність" цього співвідношення вказує: сила та викликане нею прискорення мають однаковий напрямок.
Силу, з якою притягуються два тіла, описує інший фундаментальний закон -- закон всесвітнього тяжіння. Два точкових тіла, з масами m i M, притягуються із силою, направленою вздовж лінії, що з'єднує ці тіла, (таку силу називають центральною), яка має наступну величину: \[ F=G \frac{m M}{r^2},\] де r -- віддаль між тілами, G -- константа пропорційності, вона ж -- гравітаційна стала. Якщо масу у формулу підставляти, виразивши в кілограмах, а віддалі -- в метрах, то \(G\approx 6.67 10^{-11} м^3 кг^{-1} c\).
Теоретично, послідовно їх застосовуючи, можна повністю описати падіння на Землю будь якого тіла (адже навіть повітря, що заважатиме падінню -- теж молекули, частинки речовини, яких теж стосуються закони Ньютона). Спробуємо зробити це на практиці.
Почнемо із побудови моделі нашої системи -- спробуємо відкинути несуттєві деталі, щоб спростити собі роботу. Рахувати вплив кожної молекули повітря на тіло, що падає, неохота. З побутового здорового глузду (який, правда, у фізиці часто підводить!), припустимо, що впливом повітря можна знехтувати, принаймні поки швидкості невеликі. Також, припустимо, що Земля це правильна сфера, (знехтуємо її нерівностями), а наше тіло достатньо мале, щоб вважати його точковим. Дослідимо таку модельну систему, падіння точкового тіла на сферичну Землю у вакуумі, і подивимося, наскільки добре вона описує реальність.
Зауваження: модель - ідеалізована абстракція, але вона будується так, щоб описати реальність, вхопивши її елементи, суттєві для задачі дослідника, і викинути, абстрагуючись від них, несуттєві.
Ще один важливий етап. Закон всесвітнього тяжіння записано для двох матеріальних точок. (До речі, поняття матеріальної точки - теж модель. Вона описує тіло, розмірами якого в даній ситуації можна нехтувати. Див. також ліричний додаток внизу :). Земля, навіть ідеально сферична, в задачі падіння на неї малого тіла -- не матеріальна точка. Тому, взагалі кажучи, щоб порахувати силу, з якою вона притягує наше тіло, слід розбити її на малесенькі ділянки, порахувати силу притягання з кожною такою діляночкою і підсумувати їх вплив. (Цей процес називається інтегруванням, якщо що ;-) Ми цього робити не будемо, натомість скористаємося допоміжною теоремою -- створена сферичним тілом, (за його межами), сила тяжіння дорівнює силі, що створює матеріальна точка тієї ж маси, розташована в центрі мас тіла. Тобто, поки ми над поверхнею Землі, можна вважати, що все її тяжіння створюється точковою масою в її центрі. (Як це довести - окрема тема, якщо цікаво, питайтеся в коментах -- розповім. Магічна підказка - формула Остроградського-Гауса.)
Подивимося, як наша модель поводитиметься. Закон всесвітнього тяжіння задає вигляд сили, підставивши яку в 2-й закон Ньютона, записаний для нашого тіла, ми зможемо вирахувати його прискорення під дією тяжіння Землі. Нехай маса Землі M, маса тіла m. Так як сила тяжіння діє вздовж лінії, що з'єднує тіла, можна обмежитися рівнянням для величини сили та прискорення, без векторів (**). Тоді: \[ G \frac{m M}{r^2}=m a.\] Виконавши складне математичне перетворення -- скоротивши масу m, ми отримуємо вираз для прискорення: \[a= G \frac{M}{r^2}.\] Придивившись, вже на такій ранній стадії розвитку теорії, можна зробити важливий та неочевидний (з точки зору побутового здорового глузду) висновок. Прискорення падіння тіла не залежить від його маси! Принаймні, поки справедливі припущення нашої моделі, зокрема нехтується опором повітря. Тобто, і подушка, і гантеля, падатимуть з однаковою швидкість. Викинуті з 10-го поверху, вони впадуть одночасно. Зачекайте, а як же пір'їна, літак чи парашутист? Для них справді отримане нами правило не виконується. Чому? Бо ми вийшли за межі застосування нашої моделі. Для цих тіл опір повітря грає суттєву роль. Не будемо поки що займатися дослідженням їх руху - воно багато складніше.
Отримана формула, насправді, все ще дуже складна. В неї входить віддаль між тілами. Тобто, нехай в якийсь момент часу між тілами віддаль r. Прискорення, з яким рухається тіло можна вирахувати за допомогою цієї формули. Однак, через маленький інтервал часу(***), тіло, рухаючись, перемістилося (****). Віддаль змінилася (зменшилася). Змінилося й прискорення, далі по колу. Математика знає способи боротися із такими задачами (інтегральне та диференціальне числення), але для початку спробуємо знайти простіший спосіб, не заводячи могутній математичний бульдозер.
Коли розглядати падіння тіл в повсякденному житті, то вони зазвичай падають з лічених метрів, максимум -- десятків метрів. 14-й поверх це всього лиш 40-50 метрів. Тобто, віддаль між центром Землі і нашим тілом r, можна записати як \[r = R + h,\] де R -- радіус Землі, h -- висота тіла над її поверхнею. При чому, \(R >> h\), для наочності: 6 370 000 м >> 50 м. \[a= G \frac{M}{(R+h)^2}.\]
Вирахуємо прискорення на поверхні Землі і на висоті 50м. Вважатимемо, що її радіус -- 6 370 000 м, маса -- \(5.97*10^{24} кг\)). \[ a_{h=0} \approx 6.67 10^{-11} \frac{5.97*10^{24} }{(6.37*10^6)^2}=9.81344.\] \[ a_{h=50} \approx 6.67 10^{-11} \frac{5.97*10^{24} }{(6.37*10^6+50)^2}=9.81328.\]. Як видно, різниця мізерна, півтори тисячних процента. Тому, з чистою совістю і величезною точністю можна вважати:\[a= G \frac{M}{(R)^2}=g\approx 9.8 м/с^2.\] Нічого формула g=9.8 не нагадує? ;-) Правильно, це славнозвісне прискорення вільного падіння.
Почавши з фундаментальних законів класичної механіки, ми побудували загальну теорію падіння невеликих тіл, з невеликих висот, за відсутності опору повітря. Формулюється твердження цієї теорії так: за перерахованих умов всі тіла падають із однаковим постійним прискоренням \[g= G \frac{M}{(R)^2}.\] Також, ми вирахували, що для планети Земля \(g=9.8 м/с^2\).
Область застосування цієї теорії здається вузькою? Може і так, ні політ літака, ні падіння десантника чи метеорита вона не опише. Але політ каменя, кинутого однією дитиною в іншу, падіння самовбивці з 14-го поверху, навіть політ кота, що звалився з шафи -- цілком в межах її області застосування. Тобто, більшість падінь, з якими ми можемо зустрітися в повсякденному житті.
А що про цю теорію каже практика? Ще Галілео Галілей поставив відповідні експерименти і показав, що (за винятком впливу опору повітря) всі тіла падають із однаковою швидкістю. Його досліди відносно легко повторити самостійно. (Ліана, пам'ятаєш? ;-) Якщо цікаво -- пишіть, подумаємо як (*****). Тобто, реальність ця модель описує доволі пристойно, але й простір для уточнення дуже великий.
Подібно до написаного вище робота фізика-теоретика і відбувається. Звичайно, на незрівнянно складніших системах. ;-) Але суть -- та ж. Або шукати фундаментальні закони, або за їх допомогою досліджувати явища реального світу.
Спробу застосувати побудовано теорію за безпосереднім призначенням -- для опису реальності, буде зроблено в наступній нотатці.
Додатки
Термінологічне. В побуті часто вживається фраза "це всього лиш теорія", натякаючи -- теорія це щось надумане, недостовірне. Майте на увазі, коли мова йде про наукову теорію, йдеться про найбільш ретельно перевірене знання. Нічого більш достовірного, ніж теорії, ми не маємо. Так, з часом теорія може виявитися невірною, бути заміщеною іншою чи просто запереченою. Однак, поки цього не сталося, це -- найкраще в її предметній сфері, що змогли запропонувати і перевірити, зацікавлені в практичних результатах і дааалеко не дурні, люди. Буває, одночасно існує кілька популярних теорій, через недостачу знань, щоб однозначно вибрати якусь із них. З поглибленням знань ця проблема вирішується, вбираючи досягнення теорій-попередників. Класичний приклад -- гуморальна та клітинна теорія імунітету. Виявилося, в імунітеті відіграють незамінну роль обидва фактори. Ще один приклад -- природа світла (хвилі vs часточки).
Потенційно правильне припущення називають гіпотезою. Ось вона справді вимагає підтвердження і перевірки, тому казати "це всього лиш гіпотеза" -- до певної межі правомірно й в науці.
Цікавинка: В повсякденному житті ми все ж
стикаємося із проявами явищ з-за меж класичної механіки, частиною якої є
закони Ньютона. Це, в першу чергу, лазер - чисто квантове явище. Дехто зустрічався і з надпровідністю (крім ефектних демонстрацій левітації, вона використовується в магнітах томографів). GPS
мусить враховувати релятивістські поправки, для досягнення прийнятної
точності. Це все -- не говорячи про процесори сучасних комп'ютерів,
окремі елементи яких мають розмір в сотні атомів, тому без квантових
законів нікуди, а швидкодія їх така, що обмеженість швидкості світла
дуже-дуже добре відчувається, хоча релятивістські ефекти й не
проявляються. (Візьмемо процесор з тактовою частотою 2ГГц, не такою вже
великою. Слова "тактова частота - 2ГГц" означають: прості команди такий
процесор виконує за \(\frac{1}{2*10^{9}}=5*10^{-10}\) секунди. Рухаючись
із захмарною швидкістю 300 000 кілометрів за секунду, світло за цей час
встигає пролетіти 5 сантиметрів. Нагадаю, швидкість розповсюдження
світла це і є максимальна швидкість, з якою сигнал може рухатися по
провідниках).
Ліричне. Тематичний віршик з 1September.ru.
Материальная точка .
Материальная точка, где же тебя разыскать?
Можно любое взять тело: слона, бегемота, кровать.
Только сравни для примера ты их размеры и путь.
Если тащу я пожитки, что уж, пора отдохнуть,
Значит, на том расстоянии я, словно точка, бреду.
Рост мой, размеры пожиток – с мусором здесь наряду.
Рад, что хоть массу считают. Был бы заряд, и его
Физики мне оставляют. Как я устал от всего!
Сделали точкой, смеются: “Вырасти хочешь, пацан?
Меньше возьми расстояние”. Вот такой простенький план.
Лишь в геометрии хуже, точка здесь слышит в ответ:
“Нет у тебя ни размеров, нет ничего! Нет и нет!”
Виноски
(Кажуть, footnote слід перекладати саме так).
(*) Виміряти таке відхилення в лабораторіях можна. Але задача виміряти його для машини, що їде по дорозі, незрівнянно складніша.
(**) Якщо формально строго, то закон всесвітнього тяжіння записується так:
\[ \vec{F}=G \frac{m M}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}},\]
де:
\(\vec{r}_{12}\) -- вектор, проведений з одного тіла, до другого (для педантів -- \(\vec{r}_{12}=\vec{r}_1 - \vec{r}_2\), де \(\vec{r}_1\), \(\vec{r}_2\) -- радіус-вектори першого та другого тіла);
\(r_{12}\) -- довжина цього вектора;
конструкція \(\frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}\) -- всього лиш одиничний вектор, із тим же напрямком, що й \(\vec{r}_{12}\). Множник \(\frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}\) це своєрідний трюк: вказати, що сила направлена вздовж вектора \(\vec{r}_{12}\), все решта у виразі задає її величину.
Тоді рівняння набуває вигляду: \[ G \frac{m M}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}} = m \vec{a}.\] Скоротивши масу m маємо: \[\vec{a} = G \frac{M}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}\]. Так як праворуч є тільки одиничний вектор, то прискорення направлене вздовж лінії, що сполучає тіла, а за величиною дорівнює \( G \frac{M}{r_{12}^2}\). Заради стислості вище ці важливі, але прості, міркування, опущено.
(***) Не хочеться тут дуже вдаватися в деталі. Мається на увазі інтервал часу, достатньо малий, щоб можна було знехтувати зміною швидкості тіла за рахунок прискорення, і вважати на тому, крихітному, інтервалі, швидкість постійною. Див. також диференціал.
(****) Звичайно, рух відносний, тобто всюди слід говорити "тіло перемістилося відносно іншого тіла", або "тіла зблизилися". Однак це довго та багатослівно. Крім того, у нас мова про тіло, багато менше ніж Земля, тому його переміщення у системі їх центру мас буде значно більшим, (частка -- порядку відношення між їх масами) і, з високою точністю, система відліку, пов'язана з центром мас та система відліку, пов'язана з Землею, співпадають. Тому, для простоти, я на оцій всій кухні з відносністю руху не наголошую.
(*****) В загальних рисах робити можна так: берете два тіла, приблизно рівного перерізу, але суттєво різної маси (наприклад, два однакових кубика, дерев'яний і залізний), достатньо масивних, щоб їх не здувало вітром. Кидаєте їх з 5-го поверху (максимально одночасно!), а хтось внизу дивиться наскільки одночасно вони впали. Але дизайн такого експерименту включає ряд тонких деталей, та й про техніку безпеки не слід забувати.
Отож, у фізиці, точніше у конкретній її області, завжди можна виділити певні, фундаментальні, закони. Ці закони, в принципі, описують всі явища в рамках тієї області. Однак, шлях від законів до опису може бути дуже довгим і тернистим. Фізики-теоретики якраз займаються проходженням тими шляхами, побудовою доріг та їх обживанням. :-)
Розглянемо найпростіший приклад. Потрібно дослідити падіння тіла під дією сили тяжіння.
 |
| Кажуть, футболки такі є :-) Прийму в подарунок ;-) |
Силу, з якою притягуються два тіла, описує інший фундаментальний закон -- закон всесвітнього тяжіння. Два точкових тіла, з масами m i M, притягуються із силою, направленою вздовж лінії, що з'єднує ці тіла, (таку силу називають центральною), яка має наступну величину: \[ F=G \frac{m M}{r^2},\] де r -- віддаль між тілами, G -- константа пропорційності, вона ж -- гравітаційна стала. Якщо масу у формулу підставляти, виразивши в кілограмах, а віддалі -- в метрах, то \(G\approx 6.67 10^{-11} м^3 кг^{-1} c\).
Теоретично, послідовно їх застосовуючи, можна повністю описати падіння на Землю будь якого тіла (адже навіть повітря, що заважатиме падінню -- теж молекули, частинки речовини, яких теж стосуються закони Ньютона). Спробуємо зробити це на практиці.
Почнемо із побудови моделі нашої системи -- спробуємо відкинути несуттєві деталі, щоб спростити собі роботу. Рахувати вплив кожної молекули повітря на тіло, що падає, неохота. З побутового здорового глузду (який, правда, у фізиці часто підводить!), припустимо, що впливом повітря можна знехтувати, принаймні поки швидкості невеликі. Також, припустимо, що Земля це правильна сфера, (знехтуємо її нерівностями), а наше тіло достатньо мале, щоб вважати його точковим. Дослідимо таку модельну систему, падіння точкового тіла на сферичну Землю у вакуумі, і подивимося, наскільки добре вона описує реальність.
Зауваження: модель - ідеалізована абстракція, але вона будується так, щоб описати реальність, вхопивши її елементи, суттєві для задачі дослідника, і викинути, абстрагуючись від них, несуттєві.
 |
| Виведення теореми, про яку мова. |
Подивимося, як наша модель поводитиметься. Закон всесвітнього тяжіння задає вигляд сили, підставивши яку в 2-й закон Ньютона, записаний для нашого тіла, ми зможемо вирахувати його прискорення під дією тяжіння Землі. Нехай маса Землі M, маса тіла m. Так як сила тяжіння діє вздовж лінії, що з'єднує тіла, можна обмежитися рівнянням для величини сили та прискорення, без векторів (**). Тоді: \[ G \frac{m M}{r^2}=m a.\] Виконавши складне математичне перетворення -- скоротивши масу m, ми отримуємо вираз для прискорення: \[a= G \frac{M}{r^2}.\] Придивившись, вже на такій ранній стадії розвитку теорії, можна зробити важливий та неочевидний (з точки зору побутового здорового глузду) висновок. Прискорення падіння тіла не залежить від його маси! Принаймні, поки справедливі припущення нашої моделі, зокрема нехтується опором повітря. Тобто, і подушка, і гантеля, падатимуть з однаковою швидкість. Викинуті з 10-го поверху, вони впадуть одночасно. Зачекайте, а як же пір'їна, літак чи парашутист? Для них справді отримане нами правило не виконується. Чому? Бо ми вийшли за межі застосування нашої моделі. Для цих тіл опір повітря грає суттєву роль. Не будемо поки що займатися дослідженням їх руху - воно багато складніше.
| Астронавт на Місяці відпускає одночасно пір'їну та молоток. Аполон-15, демонстрацію проводить Девід Скотт. Повітря відсутнє. Транскрипт тут. (c) NASA. |
Отримана формула, насправді, все ще дуже складна. В неї входить віддаль між тілами. Тобто, нехай в якийсь момент часу між тілами віддаль r. Прискорення, з яким рухається тіло можна вирахувати за допомогою цієї формули. Однак, через маленький інтервал часу(***), тіло, рухаючись, перемістилося (****). Віддаль змінилася (зменшилася). Змінилося й прискорення, далі по колу. Математика знає способи боротися із такими задачами (інтегральне та диференціальне числення), але для початку спробуємо знайти простіший спосіб, не заводячи могутній математичний бульдозер.
Коли розглядати падіння тіл в повсякденному житті, то вони зазвичай падають з лічених метрів, максимум -- десятків метрів. 14-й поверх це всього лиш 40-50 метрів. Тобто, віддаль між центром Землі і нашим тілом r, можна записати як \[r = R + h,\] де R -- радіус Землі, h -- висота тіла над її поверхнею. При чому, \(R >> h\), для наочності: 6 370 000 м >> 50 м. \[a= G \frac{M}{(R+h)^2}.\]
Вирахуємо прискорення на поверхні Землі і на висоті 50м. Вважатимемо, що її радіус -- 6 370 000 м, маса -- \(5.97*10^{24} кг\)). \[ a_{h=0} \approx 6.67 10^{-11} \frac{5.97*10^{24} }{(6.37*10^6)^2}=9.81344.\] \[ a_{h=50} \approx 6.67 10^{-11} \frac{5.97*10^{24} }{(6.37*10^6+50)^2}=9.81328.\]. Як видно, різниця мізерна, півтори тисячних процента. Тому, з чистою совістю і величезною точністю можна вважати:\[a= G \frac{M}{(R)^2}=g\approx 9.8 м/с^2.\] Нічого формула g=9.8 не нагадує? ;-) Правильно, це славнозвісне прискорення вільного падіння.
Почавши з фундаментальних законів класичної механіки, ми побудували загальну теорію падіння невеликих тіл, з невеликих висот, за відсутності опору повітря. Формулюється твердження цієї теорії так: за перерахованих умов всі тіла падають із однаковим постійним прискоренням \[g= G \frac{M}{(R)^2}.\] Також, ми вирахували, що для планети Земля \(g=9.8 м/с^2\).
Область застосування цієї теорії здається вузькою? Може і так, ні політ літака, ні падіння десантника чи метеорита вона не опише. Але політ каменя, кинутого однією дитиною в іншу, падіння самовбивці з 14-го поверху, навіть політ кота, що звалився з шафи -- цілком в межах її області застосування. Тобто, більшість падінь, з якими ми можемо зустрітися в повсякденному житті.
А що про цю теорію каже практика? Ще Галілео Галілей поставив відповідні експерименти і показав, що (за винятком впливу опору повітря) всі тіла падають із однаковою швидкістю. Його досліди відносно легко повторити самостійно. (Ліана, пам'ятаєш? ;-) Якщо цікаво -- пишіть, подумаємо як (*****). Тобто, реальність ця модель описує доволі пристойно, але й простір для уточнення дуже великий.
Подібно до написаного вище робота фізика-теоретика і відбувається. Звичайно, на незрівнянно складніших системах. ;-) Але суть -- та ж. Або шукати фундаментальні закони, або за їх допомогою досліджувати явища реального світу.
Спробу застосувати побудовано теорію за безпосереднім призначенням -- для опису реальності, буде зроблено в наступній нотатці.
Додатки
Термінологічне. В побуті часто вживається фраза "це всього лиш теорія", натякаючи -- теорія це щось надумане, недостовірне. Майте на увазі, коли мова йде про наукову теорію, йдеться про найбільш ретельно перевірене знання. Нічого більш достовірного, ніж теорії, ми не маємо. Так, з часом теорія може виявитися невірною, бути заміщеною іншою чи просто запереченою. Однак, поки цього не сталося, це -- найкраще в її предметній сфері, що змогли запропонувати і перевірити, зацікавлені в практичних результатах і дааалеко не дурні, люди. Буває, одночасно існує кілька популярних теорій, через недостачу знань, щоб однозначно вибрати якусь із них. З поглибленням знань ця проблема вирішується, вбираючи досягнення теорій-попередників. Класичний приклад -- гуморальна та клітинна теорія імунітету. Виявилося, в імунітеті відіграють незамінну роль обидва фактори. Ще один приклад -- природа світла (хвилі vs часточки).
Потенційно правильне припущення називають гіпотезою. Ось вона справді вимагає підтвердження і перевірки, тому казати "це всього лиш гіпотеза" -- до певної межі правомірно й в науці.
 |
| Квантове явище - лазер. (с) Wiki |
Ліричне. Тематичний віршик з 1September.ru.
Материальная точка .
Материальная точка, где же тебя разыскать?
Можно любое взять тело: слона, бегемота, кровать.
Только сравни для примера ты их размеры и путь.
Если тащу я пожитки, что уж, пора отдохнуть,
Значит, на том расстоянии я, словно точка, бреду.
Рост мой, размеры пожиток – с мусором здесь наряду.
Рад, что хоть массу считают. Был бы заряд, и его
Физики мне оставляют. Как я устал от всего!
Сделали точкой, смеются: “Вырасти хочешь, пацан?
Меньше возьми расстояние”. Вот такой простенький план.
Лишь в геометрии хуже, точка здесь слышит в ответ:
“Нет у тебя ни размеров, нет ничего! Нет и нет!”
Виноски
(Кажуть, footnote слід перекладати саме так).
(*) Виміряти таке відхилення в лабораторіях можна. Але задача виміряти його для машини, що їде по дорозі, незрівнянно складніша.
(**) Якщо формально строго, то закон всесвітнього тяжіння записується так:
\[ \vec{F}=G \frac{m M}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}},\]
де:
\(\vec{r}_{12}\) -- вектор, проведений з одного тіла, до другого (для педантів -- \(\vec{r}_{12}=\vec{r}_1 - \vec{r}_2\), де \(\vec{r}_1\), \(\vec{r}_2\) -- радіус-вектори першого та другого тіла);
\(r_{12}\) -- довжина цього вектора;
конструкція \(\frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}\) -- всього лиш одиничний вектор, із тим же напрямком, що й \(\vec{r}_{12}\). Множник \(\frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}\) це своєрідний трюк: вказати, що сила направлена вздовж вектора \(\vec{r}_{12}\), все решта у виразі задає її величину.
Тоді рівняння набуває вигляду: \[ G \frac{m M}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}} = m \vec{a}.\] Скоротивши масу m маємо: \[\vec{a} = G \frac{M}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}\]. Так як праворуч є тільки одиничний вектор, то прискорення направлене вздовж лінії, що сполучає тіла, а за величиною дорівнює \( G \frac{M}{r_{12}^2}\). Заради стислості вище ці важливі, але прості, міркування, опущено.
(***) Не хочеться тут дуже вдаватися в деталі. Мається на увазі інтервал часу, достатньо малий, щоб можна було знехтувати зміною швидкості тіла за рахунок прискорення, і вважати на тому, крихітному, інтервалі, швидкість постійною. Див. також диференціал.
(****) Звичайно, рух відносний, тобто всюди слід говорити "тіло перемістилося відносно іншого тіла", або "тіла зблизилися". Однак це довго та багатослівно. Крім того, у нас мова про тіло, багато менше ніж Земля, тому його переміщення у системі їх центру мас буде значно більшим, (частка -- порядку відношення між їх масами) і, з високою точністю, система відліку, пов'язана з центром мас та система відліку, пов'язана з Землею, співпадають. Тому, для простоти, я на оцій всій кухні з відносністю руху не наголошую.
(*****) В загальних рисах робити можна так: берете два тіла, приблизно рівного перерізу, але суттєво різної маси (наприклад, два однакових кубика, дерев'яний і залізний), достатньо масивних, щоб їх не здувало вітром. Кидаєте їх з 5-го поверху (максимально одночасно!), а хтось внизу дивиться наскільки одночасно вони впали. Але дизайн такого експерименту включає ряд тонких деталей, та й про техніку безпеки не слід забувати.
Немає коментарів:
Дописати коментар