Падіння тіла із початковою швидкістю -- розраховуємо більш складну систему
Спробуємо розширити застосування нашої теорії на випадок, коли початкова швидкість не дорівнює нулю:\[v_0\neq0.\] Повторимо міркування з попередньої статті:
| t | v | l |
| 0 | \( v_0 \) | 0 |
| \(\Delta t\) | \(v_0 + g \Delta t\) | \(v_0 \Delta t\) |
| \(2\Delta t\) | \(v_0 + 2 g \Delta t\) | \(v_0 \Delta t + g \Delta t^2 \) |
| \(3\Delta t\) | \(v_0 + 3 g \Delta t\) | \(v_0 \Delta t + 2 g \Delta t^2 \) |
| \(4\Delta t\) | \(v_0 + 4 g \Delta t\) | \(v_0 \Delta t + 3 g \Delta t^2 \) |
| \(5\Delta t\) | \(v_0 + 5 g \Delta t\) | \(v_0 \Delta t + 4 g \Delta t^2 \) |
| і т.д. | ||
Розраховуємо повне переміщення, майже так само, як раніше: \[L=v_0 \Delta t + v_0 \Delta t + g \Delta t^2 + v_0 \Delta t + 2 g \Delta t^2 + \\ + v_0 \Delta t + 3 g \Delta t^2 + \ldots + v_0 \Delta t + (N-1) g
\Delta t^2,\] де \(N = \frac{t}{\Delta t}\) -- кількість проміжків
\(\Delta t\), які складають наш час t. Доданки із g не змінилися, тому, після підсумовування, дадуть все те ж: \( g \frac{t^2}{2} - g \frac{t \Delta t }{2}\). Крім них залишилося N доданків: \[v_0 \Delta t + v_0 \Delta t + v_0 \Delta t + \ldots + v_0 \Delta t = v_0 N\Delta t = v_0 t.\] Отже: \[L=v_0 t + g \frac{t^2}{2} - g \frac{t \Delta t }{2}, \] і в границі як завгодно малого \( \Delta t\):\[L=v_0 t + g \frac{t^2}{2}.\]
Тепер ми можемо розв'язувати новий клас задач, які безпосередньо стосуються реальності, наприклад, дослідження польоту тіл, підкинутих вверх. Детально їх тут не розглядатимемо, хоча в процесі такого розгляду можна зустріти декілька цікавих нюансів. :-)
